Với roulette kiểu Pháp, chỉ với một số không tổng cộng là 37 số, đây là mô hình cuối cùng của xác suất trường ( Ω , 2 Ω , P ) {\displaystyle (\Omega ,2^{\Omega },\mathbb {P} )} , trong đó Ω = { 0 , … , 36 } {\displaystyle \Omega =\{0,\ldots ,36\}} , P ( A ) = | A | 37 {\displaystyle \mathbb {P} (A)={\frac {|A|}{37}}} cho tất cả A ∈ 2 Ω {\displaystyle A\in 2^{\Omega }} .

Gọi cược S {\displaystyle S} gồm ba phần ( A , r , ξ ) {\displaystyle (A,r,\xi )} , trong đó A {\displaystyle A} là tập các số được chọn, r ∈ R + {\displaystyle r\in \mathbb {R} _{+}} là tổng cá c số của cược, ξ : Ω → R {\displaystyle \xi :\Omega \to \mathbb {R} } xác định sự trở lại của đặt cược.

Các quy tắc của roulette kiểu Pháp có 10 loại cược. Đầu tiên chúng ta có thể kiểm tra đặt cược đơn một số. Trong trường hợp này, S = ( { ω 0 } , r , ξ ) {\displaystyle S=(\{\omega _{0}\},r,\xi )} , đối với một số ω 0 ∈ Ω {\displaystyle \omega _{0}\in \Omega } , and ξ {\displaystyle \xi } được xác định bởi

ξ ( ω ) = { − r , ω ≠ ω 0 35 ⋅ r , ω = ω 0 . {\displaystyle \xi (\omega )={\begin{cases}-r,&\omega \neq \omega _{0}\\35\cdot r,&\omega =\omega _{0}\end{cases}}.}

Lợi nhuận ròng dự kiến của quỹ, hoặc lợi nhuận, bằng

M [ ξ ] = 1 37 ∑ ω ∈ Ω ξ ( ω ) = 1 37 ( ξ ( ω ′ ) + ∑ ω ≠ ω ′ ξ ( ω ) ) = 1 37 ( 35 ⋅ r − 36 ⋅ r ) = − r 37 ≈ − 0.027 r . {\displaystyle M[\xi ]={\frac {1}{37}}\sum _{\omega \in \Omega }\xi (\omega )={\frac {1}{37}}\left(\xi (\omega ^{\prime })+\sum _{\omega \neq \omega ^{\prime }}\xi (\omega )\right)={\frac {1}{37}}\left(35\cdot r-36\cdot r\right)=-{\frac {r}{37}}\approx -0.027r.}

Để đặt cược, màu đen (hoặc màu đỏ), quy tắc được xác định là

ξ ( ω ) = { − r , ω  màu đỏ − r , ω = 0 r , ω  màu đen , {\displaystyle \xi (\omega )={\begin{cases}-r,&\omega {\text{ màu đỏ}}\\-r,&\omega =0\\r,&\omega {\text{ màu đen}}\end{cases}},}

và lợi nhuận

M [ ξ ] = 1 37 ( 18 ⋅ r − 18 ⋅ r − r ) = − r 37 {\displaystyle M[\xi ]={\frac {1}{37}}(18\cdot r-18\cdot r-r)=-{\frac {r}{37}}} .

Vì những lý do tương tự, rất đơn giản để thấy rằng khả năng sinh lời cũng bằng nhau đối với tất cả các loại cược còn lại. − r 37 {\displaystyle -{\frac {r}{37}}} .[8]

Trong thực tế, điều này có nghĩa là, càng có nhiều cược mà một người chơi thực hiện, thì anh ta càng mất nhiều độc lập với các chiến lược (kết hợp các loại đặt cược hoặc kích thước cược) mà anh ta sử dụng:

∑ n = 1 ∞ M [ ξ n ] = − 1 37 ∑ n = 1 ∞ r n → − ∞ . {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }M[\xi _{n}]=-{\frac {1}{37}}\sum _{n=1}^{\infty }r_{n}\to -\infty .}

Ở đây, tỷ suất lợi nhuận của chủ sở hữu roulette bằng khoảng 2,7%. Tuy nhiên, một số hệ thống chiến lược roulette đã được phát triển bất chấp tỷ lệ thua lỗ. Các hệ thống này không thể thay đổi tỷ lệ cược của trò chơi có lợi cho người chơi.

Điều đáng chú ý là tỷ lệ cược cho người chơi trong roulette Mỹ thậm chí còn tồi tệ hơn, vì lợi nhuận đặt cược là tồi tệ nhất − 3 38 r ≈ − 0.0789 r {\displaystyle -{\frac {3}{38}}r\approx -0.0789r} , và không bao giờ tốt hơn − r 19 ≈ − 0.0526 r {\displaystyle -{\frac {r}{19}}\approx -0.0526r} .

Mô hình toán học đơn giản

Đối với một bánh xe roulette với n {\displaystyle n} là số 0 tùy mỗi kiểu cược Pháp hay kiểu Mỹ và 36 số duy nhất khác cơ hội bóng rơi vào một số cho sẵn là 1 ( 36 + n ) {\displaystyle {\frac {1}{(36+n)}}} . Đối với tùy chọn đặt cược với p {\displaystyle p} các số xác định chiến thắng, cơ hội thắng cược là p ( 36 + n ) {\displaystyle {\frac {p}{(36+n)}}}

Ví dụ: đặt cược vào "màu đỏ", có 18 số màu đỏ, p = 18 {\displaystyle p=18} , cơ hội chiến thắng là 18 ( 36 + n ) {\displaystyle {\frac {18}{(36+n)}}} .

Khoản thanh toán được đưa ra bởi sòng bạc để giành chiến thắng được dựa trên bánh xe roulette có 36 kết quả và khoản thanh toán cho đặt cược được đưa ra bởi 36 p {\displaystyle {\frac {36}{p}}} .

Ví dụ, cược vào 1-12 có 12 số xác định chiến thắng, p = 12 {\displaystyle p=12} , khoản thanh toán là 36 12 = 3 {\displaystyle {\frac {36}{12}}=3} , nên thắng càng tốt 3 lần cược của họ.

Lợi nhuận trung bình trên cược của người chơi được đưa ra bởi p ( 36 + n ) × 36 p = 36 ( 36 + n ) {\displaystyle {\frac {p}{(36+n)}}\times {\frac {36}{p}}={\frac {36}{(36+n)}}}

Với n > 0 {\displaystyle n>0} mức lợi nhuận trung bình luôn thấp hơn 1 vì vậy trung bình một người chơi sẽ mất tiền. Với kiểu Pháp chỉ có một số 0 thì n = 1 {\displaystyle n=1} thu nhập trung bình là 36 37 {\displaystyle {\frac {36}{37}}} , có nghĩa là, sau khi đặt cược, người chơi sẽ trung bình có 36 37 {\displaystyle {\frac {36}{37}}} đặt cược ban đầu của họ trở lại với họ. Với kiểu Pháp chỉ có hai số 0 và 00 thì n = 2 {\displaystyle n=2} thu nhập trung bình là 36 38 {\displaystyle {\frac {36}{38}}} .

Điều này cho thấy giá trị kỳ vọng là độc lập với lựa chọn đặt cược.